“数学深度教学”十讲

0【引言】

“深度教学”是教育领域的一个新热点，其在数学教育类刊物上的“出镜率”已达到了与“核心素养”等热词几乎持平的地步。但就整体而言，大多数文章还只是停留于“对‘教育浅层化、表层化’的直接反对”这样一个较肤浅的理解，从而清楚地表明了理论研究的滞后。

当然，我们所需要的并非“大而空”的研究。例如，以下的论述无疑会使人望而生畏“:深度学习‘深’在哪里?首先‘深’在人的心灵里‘，深’在人的精神境界上，还‘深’在系统结构中‘，深’在教学规律中。”恰恰相反，我们应将理论研究与教学实践更好地结合起来，特别是应从学科教学的角度清楚指明“深度教学”的具体含义，并提供一些切实可行的教学建议，从而对于实际教学工作发挥一定的促进作用。这也正是本文的主要目标。

0 十讲简述

1 从“数学教育目标”讲起

• 数学教育目标的演变："双基"是数学教育目标的1.0版；"三维目标"是2.0版；"（数学）核心素养"是3.0版
• 对"三会"的质疑：是否每个学生都应该做到"三会"
• 对《红楼梦》中两种思维策略的讨论： "从条件想起"与"从问题想起"
• 对过度应用数学思维的批评
  • 数学思维只是各种思维形式中的一种
  • 不应将数学思维置于至高无上的地位
• 数学教育的基本目标：从帮助学生"学会数学地思维"转向"通过数学学会思维"，促进学生思维的发展

2 “数学深度教学”的具体涵义

• 数学深度教学的含义：
  • 从“帮助学生学会数学地思维”转向“通过数学学会思维”
  • 由突出强调具体的数学方法和策略，转变为注重一般性思维策略与思维品质的提升
• 数学教育的目标
  • 对大多数将来未必会从事与数学有关行业的学生作出实质性的贡献
  • 基于波利亚的问题解决和数学启发法思想，认识到数学教育的普遍意义
• 数学教学的挑战
  • 尽管学生已经具备了必要的数学知识，似乎也已较好地掌握了相应的解题策略，却仍然不能有效地解决问题
  • 以问题解决作为学校数学教育的中心有一定优势，但也有很大的局限性
• 数学教学的新视角：从更一般的角度进行思考，超出数学；在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识
• 数学深度教学的目标
  • 由不自觉状态（“潜移默化”）转向更自觉的状态
  • 通过数学教育目标的适当调整和落实，为大多数学生在离开学校以后留下更多、更有价值的东西

3 什么样的数学教学要不得

• 深度教学与浅度教学的对比：
  • 深度教学强调理解教学，不应是一种机械的行为，让学生通过机械记忆与简单模仿来学习数学。
  • 浅度教学往往只讲结论与算法而不讲道理，学生看上去懂了，也能正确解答相应的“常规性问题”，但很难被看成已经实现了真正的理解。
• 教学案例：
  • 通过一个关于三角形内角和的教学片段，展示了浅度教学的问题，即学生虽然能回答出正确的答案，但对于问题背后的数学道理并无深入理解。
• 不良教学方法：将数学等同于各个孤立知识的简单汇集，而没有认识到应将它们联系起来加以考察。仅仅注意了学生的动手，却忽视了应通过动手促进学生积极地动脑。
• 深度教学的含义：
  • 数学教学一定要讲道理，让学生真正做到理解，并能很好地实现对于日常经验与直观感知的必要超越。
  • 社会发展，特别是科学技术的飞速进步对数学教育提出了更高的要求，直接赋予了“数学深度教学”另外一些含义。

4 内容的“方法论重建”与教学中的“问题引领”

• “数学深度教学”的定义和重要性
  • 不仅要帮助学生掌握具体的数学知识和技能，还要深入到思维的层面，帮助他们通过数学学会思维。
  • 两个重要环节：教学内容的“方法论重建”和“问题引领”。
• “方法论重建”的含义和实践
  • 强调思维的发展不应取代数学知识和技能的教学，而应用思维分析带动具体知识和技能的教学。
  • 举例说明，数学教学不应被等同于魔术表演，而是要揭示背后的道理。
• “问题引领”的重要性
  • 教师在教学活动中的主导作用，同时保证学生在学习活动中的主体地位。
  • 以“真问题”引领教学，重视问题的“自然性”，并通过适当的追问、反问等引导学生更深入地进行思考。
• 深度教学的若干要点
  • “核心问题”的准确提炼和“再加工”。
  • “问题引领”不仅应当体现于课堂教学的开始部分，也应落实于其他各个环节。
  • “大问题教学”和“让思维在‘问题链’中‘浅入深出’”的方法有重要的指导意义。
  • 针对具体的教学内容、对象与环境，创造性地加以应用。

5 思维的深刻性与“联系的观点”

• 深度教学的第二个含义
  • 由具体的数学方法和策略过渡到一般性思维策略与思维品质的提升
  • 提升学生思维的深刻性
  • 通过由特殊上升到一般揭示事物和现象的内在规律与本质
  • 通过联系的观点进行分析思考，达到更深的认识程度
• “联系的观点”在数学教学中的应用：“比较”的应用；“全局观念”的指导；建立“结构性认识”。
• 教师的焦虑和解决方法：教师需要超越各个具体内容从更高层面进行分析思考；真正弄清什么是其中的重点和难点，什么又是无关重要的枝节小事
• 结构性认识的重要性：通过总结、反思与“再认识”，使学生能够按照逻辑的顺序（由简单到复杂、由低维到高维）更好地把握各个相关的内容，特别是它们的内在联系，包括重点与关键等
• 数学教学的建议：
  • “数学基础知识的教学，不应求全，而应求联。”在教学中应当很好地突出这样一个关键字：“联”！

6 思维的灵活性与“变化的思想”

• 思维的灵活性与“变化的思想”在数学教学中的重要性
  • 思维的敏捷性并非数学的主要诉求，而应是达到更大的思维深度
  • 通过适当变化更有效地解决问题，实现认识的深化
• “联系的观点”与“思维的灵活性”之间的关系
  • 两者之间存在互补的关系
  • 通过比较基本题型和适当变化解题模式，使用“联系的观点”与“变化的思想”
• “变化的思想”的重要性
  • 提出了一个教学实例，强调教师应通过“求变”有效地解决问题
• “特殊化”和“一般化”的方法在解决问题中的应用
  • “特殊化”是通过变化解决问题最常用的一种方法
  • “一般化”是实现数学中“由简单到复杂”的发展的主要手段
• 为了有效地应用特殊化与一般化等方法去解决问题，应特别重视针对具体情况做出更深入的研究
• 数学基本技能的教学，不应求全，而应求变
  • 提出了“一题一课，一课多题”的教学经验
• 防止与纠正一些教学中的做法，如繁琐哲学、求大求全，包括对于形式的片面强调等
  • 强调应用题教学的理念与价值的转变，反对机械记忆和简单模仿去解决问题
• 积极从事“应用题的当代重建”是一个更加合适的立场

7 “长时间思考”：反思与再认识

• 强调数学教学应帮助学生学会“长时间思考”，并指出日常思维的主要形式“快思”存在的不足，需要通过“慢思”来改进。
• 姜伯驹先生的观点：数学使他学会长时间思考，而不是匆忙作出解答。
• 华应龙老师的教学实例：通过引导学生慢慢思考，解决了一道复杂的数学问题，展示了"长时间思考"的重要性。
• 长时间思考的主要含义：不应简单地从思维时间的长短去理解，而应当更深入地去思考，包括反思和再认识。
• 教学建议：为学生的长时间思考提供充足的时间和空间，引导学生更仔细、更深入地思考。

8 乐于思考、善于思考

• 数学深度教学的目标和要求
  • 提升学生的思维品质，增强自觉性
  • 避免“深藏不露”和“浅尝辄止”的状态
• 思维的清晰性、严密性与条理性在数学教学中的应用
  • 清晰性：每个概念都应有明确的定义，避免概念的模糊性和不一致性
  • 严密性：推理的有效性，对于任一结论我们都应做出严格证明
  • 条理性：“序”的把握，超越细节实现整体把握
• 数学对思维的影响和数学教学的重要性
  • 数学对于思维清晰性的重要作用
  • 通过数学教学提升学生的思维品质
• 数学教学应遵循的四个基本原则
  • 第一，结合自己的教学很好地体会，包括作出自己的总结
  • 第二，明确地强调了由“数学地思维”向“通过数学学会思维”的转变
  • 第三，辩证性也应被看成一种重要的思维品质
  • 第四，乐于思考、善于思考

9 积极的交流与互动

• 数学深度教学的含义
  • 通过教学帮助学生学会学习，从被动学习转变为主动学习。
  • 强调同学间的交流互动，使学生真正成为学习的主人。
• 交流与互动的重要性和具体含义
  • 交流与互动并非新论题，但需要避免无准备的交流和形式上的互动。
  • 提出“深度交流”与“深度互动”两个概念，反对“浅度交流”和“浅度互动”。
• 深度教学与深度交流和深度互动的关系
  • 以“促进反思、促进优化、促进合作”等目标对“交流与互动”的含义进行分析。
  • 深度教学为做好“交流与互动”指明了努力方向。
• 具体建议
  • 学生在表述前先对头脑中的想法进行梳理与检查，讲清楚、讲有条理、讲得令人信服。
  • 教学中应给学生提供充足的思考空间与时间，培养他们长时间思考的习惯与能力。
  • 强调“交流”功能，鼓励反思和优化，提倡观点与方法的多元化。
  • 认识主体由各个单独的个体向群体、向由学生与教师组成的“学习共同体”的重要转变。
• 创建数学课堂文化
  • 努力实现的目标是“思维的课堂，安静的课堂，合作的课堂，开放的课堂”。
  • 教师应发挥“引导者”和“组织者”的作用，以“学习共同体的创建”为更重要的工作目标。

10 帮助学生学会学习

• 提高学生的学习自觉性
  • 反对“熟能生巧”和“机械学习”的教育方式，强调学生应理解学习的目的和方法，分析错误的原因，避免同一错误的再现。
  • 鼓励学生自觉学习和成长，清晰地认识学习目标，有针对性地进行学习。
  • 认为数学教学应由“潜移默化”逐步过渡到自觉的追求，由“春风化雨”转变为“独上高楼”，由单纯的“愉快学习”上升到“衣带渐宽终不悔”。
• 培养学生提出问题的能力
  • 认为学生提出问题的能力对于他们学会学习具有特别的重要性，可以通过自我引领实现自我成长与自我完善。
  • 强调学生应经常思考新学习的知识与已有知识之间的联系，了解他们之间的相同与不同，通过整体分析实现认识的必要深化。
  • 提出一些具体的方法，如“加大难度”由原先的问题引出诸多新的问题，通过交换问题中已知与未知成分引出新的问题，利用“否定假设法”帮助学生清楚地认识“（自我）评价”对于提升自身提出问题能力的特殊重要性。

结语

作为结束，笔者愿意特别强调这样一点：如果说我们在先前往往比较注重教学的 “实”“活”“新”（周玉仁语），那么在当前就应更加强调一个“深”字，即应当通过“深度教学”努力提升学生的核心素养；如果说“用诗意的语言感染学生”是语文教学应当努力实现的一个境界，那么数学教师的主要责任就是“以深刻 的思想启迪学生”。

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